Intro' Maths': Les structures algébriques

BONJOUR.

Aujourd'hui on va parler de maths. NE FUYEZ PAS!! :c

On va juste mettre des noms sur des choses que vous utilisez depuis très longtemps! Avant d'attaquer les structures algébriques un petit rappel sur...

I-Les ensembles

Alors un ensemble? Kekséksa? Un ensemble est tout simplement une collection d'éléments: des nombres, des vecteurs, des fruits, des légumes, des lettres...

En maths, on préfère s'attaquer d'abord aux nombres, c'est pour cela que l'on a créer des... ensemble de nombre.

Voici les plus communs:

N

L'ensemble des entiers naturels (0,1,2,3,4,5...)

Z

L'ensemble des entiers relatifs (... -3,-2,-1,0,1,2,3...)

D

L'ensemble des nombres décimaux (Tout nombre ayant un nombre fini de chiffres après la virgule)

Q

L'ensemble des nombres rationnels (Tout nombre pouvant s'écrire sous forme d'une fraction)

R

L'ensemble des nombres réels (Cela englobe tout les nombres d'avant et les irrationnels comme √2, π, e ...)

C

L'ensemble des nombres complexes (Les nombres de la forme a+ib, avec i²=-1)

On notera qu'ici je les ai classé par inclusion.

Ex: On peut prendre pour exemple N et Z: tous les élément de N se retrouve dans les éléments de Z. On note cela N⊂Z.

D'où N⊂Z⊂D⊂Q⊂R⊂C

Vous les avez très certainement utilisés dans votre scolarité. Maintenant que nous savons quels éléments nous allons utilisés pour faire nos structures algébriques on va voir comment on va les utiliser.

Pour faire une structure algébrique on va donc avoir besoin d'une...

II-Une loi de composition

Mais qu'est ce que c'est que ce charabia? Vous allez voir c'est assez simple...

Il existe deux sortes de lois de compositions: Les lois de compositions internes et les lois de compositions externes (à gauche ou à droite). On s'intéressera dans ce blog plus particulièrement aux lois de compositions internes et on évoquera à une occasion l'utilisation d'une loi de composition externe.

La loi de composition interne (LCI):

Soit E un ensemble, T(on aurait aussi pu l'appeler Patate) est une LCI on a:

T : E x E → E

"T de E croix E dans E"

Mékeskesavedir? Ca veut tout simplement dire que∀x ∈ E, ∀y ∈E, xTy∈ E...

Ah c'est pas assez clair?

En gros si tu prends un élément x de E et un élément y de E l'opération xTy est aussi un élément de E.

On va faire un exemple:

On va prendre l'ensemble N* des entiers naturels sans le 0 parce que 0 c'est nul (0, nul, vous avez saisi la blague?). On va aussi prendre une loi de composition "+" qui s'appelle "l'addition".

On dit donc qu'on a N* munis de l'addition ce qui s'écrit (N*,+).

Est-ce que "+" dans N* est une LCI? Eh bien oui!

Prenez n'importe quel entier naturel non nul et additionner le à un autre entier naturel non nul ça fera toujours un entier naturel non nul donc qui appartient bien a N* (ex bidon: 2+5=7 est bien dans N* ... bon vous avez compris)

Mais attendez est-ce qu'on ne viendrait pas de créer une... Structure algébrique?

III-Les structures algébriques

Une structure algébrique se créée grâce un ou plusieurs ensembles munis d'une ou plusieurs lois de compositions. Il en existe plusieurs sortes mais...

Avant d'attaquer la suite on va poser quelques définitions:

Un neutre

e est un neutre pour la LCI T : E x E → E si et seulement si ∀x ∈ E, xTe = x et si ∀ x ∈ E, eTx =x.

Pour l'addition le neutre e est 0, x+0=x et 0+x=x.

Pour la multiplication le neutre e est 1 car y x 1 = y et 1 x y= y ( je vais me faire taper pour mes notations...).

Associativité

La LCI T : E x E → E est associative si et seulement si a ∈ E, b ∈ E, c ∈ E, (aTb)Tc=aT(bTc). Le placement des parenthèses compte pas.

Exemple:

+ : Z x Z → Z est associative, (1+2)+3=1+(2+3)=6

- : Z x Z → Z n'est pas associative, (2-3)-4 = -5   =/= 2-(3-4) = 3

Commutativité

La LCI T : E x E → E est commutative si et seulement si ∀ x ∈ E ,∀ y ∈ E,

xTy = yTx.

Exemple:

+ : Z x Z → Z est commutative, 2+3 = 3+2=5

- : Z x Z → Z n'est pas commutative, 2-3 =/= 3-2

Les inverses

x' est l'inverse de x pour T : E x E → E si et seulement x'Tx=e et xTx'=e ( le neutre pour la LCI T).

Exemple:

Pour (Z,+) les inverses sont les "opposés" ( 2 + (-2) = 0 etc...)

Pour (Q,x) les inverses sont ... les "inverses" (3 x (1/3)=1)

La distributivité

Ici on va considérer deux LCI T : E x E → E et V : E x E → E

On dit que T est distributive par rapport à V si et seulement si ∀a∈ E, ∀ b ∈ E, ∀,c ∈E on a:

aT(bVc)=(aTb)V(aTc) et (aVb)Tc=(aTc)V(bTc)

exemple: (E,x,+) on a: a x (b+c) = (a x b) + (a x c) et (a + b) x c = (a x c) + (b x c)

Bon après toute ces définitions nécessaires, la suite!!

Les magmas

Malgré le nom brulant, elles sont très faciles à manipulées.

C'est la structure la plus simple. Il s'agit un ensemble E muni:

-D'une LCI comme dans l'exemple de (N*,+).

C'est bien un magma! Vous utilisez donc une magma depuis... la maternelle ( ou depuis que vous comptez sur vos doigts).

Les monoïdes

Alors non c'est pas des cailloux, c'est juste un ensemble E muni:

-D'une LCI associative

-Cette LCI à un neutre

On reprend l'exemple du magma cités précédemment mais au lieu de prendre N* on prend N.

L'addition est bien une LCI associative qui a pour neutre 0, on a bien un monoïde et ça aussi vous l'utilisez depuis longtemps.

Il existe évidemment d'autres monoïde comme par exemple (R*,x) ( vérifier les propriétés par vous même).

Un monoïde peut être commutatif, si c'est le cas, il est dit abélien.

Les groupes

Ici on est loin des boys-band et la de bande a Jean-Kévin.

Un groupe est un ensemble E muni:

-D'une LCI associative

-Cette LCI à un neutre

de plus:

-Tout élément de l'ensemble et un inverse

On retrouve ici toute les caractéristiques du monoïde et on y rajoute l'inverses des éléments.

Tout comme le monoïde, le groupe peut être commutatif, on le qualifiera aussi d'abélien.

Exemple: (Z,+) est un groupe abélien là où (N,+) n'est pas un groupe: le neutre pour + étant 0 il n'est pas possible d'avoir 0 en additionnant deux nombres de N. Les groupes sont partout!!

Fervent représentant des groupes

Les anneaux

Là ca se complique la définition est assez difficile, il faut revoir les structures précédentes.

Celui là t'évites de le mettre autour du doigt. Soit E un ensemble munis de l'addition et d'une LCI T : E x E → E, en gros (E,+,T).

C'est un anneau si et seulement si:

-(E,+) et un groupe abélien (de neutre 0)

-(E,T) est un monoïde

-T est distributif par rapport a "+"

Si l'anneau est commutatif on dit qu'il est abé... non on dit que c'est un anneau commutatif.

Comme exemple il y a (Z,+,x) en effet:

-(Z,+) est un groupe abélien (vu juste avant)

-(Z,x) est un monoïde

-"x" est distributif par rapport à "+"

Ils sont un peu plus rare et sont un peu moins utilisé on preferera utiliser ce qui suit.

Les corps

Alors ici c'est le clou du spectacle on manipule des corps (vivant ou pas c'est comme vous voulez). Un corps c'est un anneau (E,+,T) dont tout les éléments non-nuls sont inversibles pour T. C'est à dire que pour n'importe quelle élément non-nul son inverse existe. C'est la structure que l'on utilise le plus dans la vie de tout les jours et à l'école avec le corps (R,+,x).

-(R,+) est un groupe abélien

-(R,x) est un monoïde

-"x" est distributif par rapport a "+"

-Tout élément non nul de R est inversible

On appel (R,+,x) le corps des réels.

Pour conclure:

Voilà un petit topo sur toutes les structures algébriques utilisés le plus souvent. Mais à quoi ça sert d'apprendre tout ça ou d'étudier tout cela me direz vous? Eh bien en étudiant les structures algébriques et en dégageant des propriétés, on créer des théorèmes qui sont vrais pour TOUTES les structures de ce type ce qui est quand même assez stylé. Cela permet de généraliser et de pouvoir créer des structures de plus en plus complexes que nous aborderont plus tard.

L'algèbre est un domaine des mathématiques très intéressant mais très peu étudier dans le cursus scolaire avant le BAC. Vous aurez peut-être la chance d'étudier ce domaine des mathématiques si vous faites des vrais mathématiques en études supérieurs.

PS: Comme nous sommes sur un sujet plutôt abstrait... y'a pas trop d'illustrations XD